夜话微积分基本定理｜导数与积分的互易：降维与增维的相关性
大家好，今天来为大家分享夜话微积分基本定理｜导数与积分的互易：降维与增维的相关性的一些知识点，和的问题解析，大家要是都明白，那么可以忽略，如果不太清楚的话可以看看本篇文章，相信很大概率可以解决您的问题，接下来我们就一起来看看吧！
导函数
函数的因变量相对于自变量变化的速度，即“变化率”，称为函数的导数。如果有一个函数f(x)，其导数用f'(x)表示：
相对于导数f'(x)，f(x)可以称为f'(x)的原函数。
直接利用上面的公式定义，通过除法、求和、求极限的黎曼和法，我们可以得到：
f'(x)=2x
f'(x)=3x
f'(x^n)=nx^(n-1)
可见，导函数与原函数具有降维和增维的逆运算关系。
面积计算
如果图形的一条边（x 轴）和另一条边（常数）组成，则该图形是矩形曲面或正方形，面积也是常数。
如果图的一侧（x轴）和另一侧（变量y）之间没有函数关系，如何计算其面积？
除法和求和只能近似总体面积（面积和边数之间自然不存在函数关系）。
如果图形的一侧（x轴）和另一侧（变量y）之间存在函数关系f(x)，那么它的面积A(x)能否准确计算？
如y=x
有
通过除法和求和，可以求出极限，得到黎曼和。当n时，上述区间的面积=1000/3。
面积A与两条边x、f(x)之间是否存在函数关系？
降维和升维好像有关系？
定义面积函数为A(x)，如下所示：
关键是找到A(x)的一般表达式。该表达式是积分表达式的替代。该表达式必须没有符号、f 和d，并且仅包含变量x。
下面的F(x)和A(x)均表示面积函数。字母是“A”还是“F”没有区别。
当积分上限为x时，在此基础上，对自变量x与面积函数进行微分，自变量x增加一个最小值h(dt)：
上图中浅红色阴影部分在h很小时几乎是一个小竖条，所以竖条的面积可以通过计算矩形的面积来估计。它的底边是从x到x+h，高是从0到f(x)，所以面积是h*f(t)，即：
可见函数f(x)的反导数是面积函数F(x)，这是微积分的基本定理。
从上图可以看出，当上下边存在函数关系时，就可以准确计算出它们的面积。
x的反导数为1/3x，因此上面所需的面积为：F(10)-F(0)=1000/3。
速度v，时间t、位移s
如果是匀速运动，那么三者之间显然存在一定的函数关系。
如果时间t和速度没有函数关系，如何通过测量时间和速度来测量移动的距离呢？我们只能一步步近似，测量一小段时间的速度和时间间隔：
(小段位移=该时间间隔内的近似速度*时间间隔)
如果速度和时间之间存在函数关系，如v(t)=t(8-t)，那么是否可以准确计算出位移距离呢？
由(t(8-t))'=8-2t=0可知，当t=4m时，物体的最大速度为16m/s。速度v[0,16]、时间[0,8]、位移S粗略估计小于16*8=128m。
从上面矩形面积的推导可以看出，面积函数是其边函数的逆运算。类似地，当时间和速度存在函数关系时，位移函数和速度函数也是逆运算。
S(t)=F(t)=(t(8-t)dt=4t2-1/3t3=4*82-1/3*83=85.33m。
参考
流行微积分基本定理和公式的推导
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用户评论
终于看懂了微积分基本定理！以前一直觉得积分和导数是两个完全不同的东西，但是你的讲解让我明白了它们之间的深刻联系。感觉就像是一些二维平面上的点，可以通过求导升维到三维空间，再通过积分降维回二维平面！真是奇妙。
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这个标题让人很有吸引力，我一直在想微积分的基本定理是什么，它到底代表着什么。看了你的博文后，豁然开朗了。原来导数和积分是互逆关系，降维和升维的相互对应真的很迷人！
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说实话，我对数学总是有点苦手，看到这么专业的标题就有些 intimidated ???? 但你写的博文很通俗易懂，把复杂的理论用生动的语言解释得很清晰。让我对微积分基本定理有了更深入的理解，感觉以前学的那些导数和积分都有了新高度！
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其实我觉得这个标题太高深莫测了，很多读者可能根本看不懂你在说什么???? 或许可以用一些更容易理解的词汇来吸引更多人进来。内容本身还是很不错的，讲解清晰全面，确实让我对微积分基本定理有了更深入的认识。
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你把微积分基本定理和降维升维的关系描述得很好！我之前就觉得这两种概念似乎之间有什么联系，但一直没有找到合适的解释。你的博文完美地解答了我的疑惑！
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说实话，我觉得这个标题有点太严肃了，不利于吸引年轻人的兴趣。我们应该用更时尚、更生动的语言来介绍数学知识，让更多人感受到数学的魅力！内容方面还可以再丰富一些，加入一些具体的例子或者应用场景，会更容易理解。
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你的讲解很有深度，尤其是对导数与积分互逆关系的描述实在是妙极了！让我恍然大悟！以后学习微积分的时候，一定要记住这个基本定理，它真的是一个连接各个概念的纽带！
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我本来以为这个博文会非常枯燥乏味，但没想到你的语言非常生动有趣，读起来很有启发性！让我突然对微积分有了新的认识和兴趣！
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我以前一直觉得微积分很抽象，很难理解。看了你的文章后，终于明白微积分基本定理的真正含义了！原来它是一个串联整 个微积分系统的重要结点！从降维到升维，真的很奇妙!
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还是有一些地方不太理解，比如你说的降维和升维的概念，能不能再解释下？我感觉这个概念有点抽象，需要更多的具体例子来帮助我理解。
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博主的分析很深刻，把微积分基本定理的相互联系阐述得非常清楚！我现在对该定理以及其应用场景有了更透彻的认识。这篇文章真是太有料了!
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你说的“导数与积分的互逆”真的很形象！ 我以前也觉得它们是两个独立的概念，现在看来他们就像是一枚硬币的两面，彼此转换，相互依存！
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这个标题确实很有吸引力，点出了微积分基本定理的核心思想。博文讲解非常到位，让我对微积分的基本原理有了更清晰的认识。 尤其是降维升维的概念，让我对数学思维方式有了新的启发!
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说实话，这篇博文有点学术味，不太适合普通读者阅读。如果能用更通俗易懂的语言来讲解，我相信会有更多人关注你的文章。
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感谢你分享这么有价值的文章！它让我对微积分的基本定理有了全新的理解。特别是 "导数和积分互逆的关系" 这点， 确实是一个很重要的核心概念！
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这个标题太生僻了，让人望而却步，其实微积分基本定理的本质很简单，就是描述改变率与累积量的联系。文章中能把这些理论用通俗易懂的方式表达出来就非常棒!
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博文讲解得非常详细，逻辑清晰，让我对微积分基本定理有了更深入的理解。尤其喜欢你运用降维升维的概念来解释导数与积分的关系，真是太巧妙了！
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这篇博文很值得一读，尤其是对学过微积分的人来说更是受益匪浅！作者把一个复杂理论讲得清晰易懂，让人更容易理解和记忆。
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我希望你能多写一些这样的文章，来普及数学知识，让更多人了解微积分的奥妙所在!
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虽然博文内容很专业，但我还是从中受益匪浅！它让我对微积分基本定理有了更深刻的认识，并进一步激发了我的学习兴趣!
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